% -------------------------------------------------- %
%  EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM                     %
%  INFORMATIKAI KAR ~ PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS     %
%  Bevezetés a matematikába (2)                      %
%  2004/2005                                         %
% .................................................. %
%  Authors: Reviczky Ádám János                      %
% -------------------------------------------------- %

ZÁRTHELYI

# ELMÉLET
01. a) Mit nevezünk integritási tartománynak?
    b) Mi a nullosztó?
    c) Mi az ideál?
# GYAKORLAT
02. Legyen G csoport, és |G|=2005. Tegyük fel, hogy a²=b². Bizonyítsa be, hogy ekkor a=b.
03. Igazoljuk, hogy az alábbi halmaz a szokásos műveletekre integritási tartományt alkot.
    {a+bρ:a,b∈ℤ}, ahol ρ az első hatodik egységgyökök: ρ=cos60°+isin60°=1/2+i√3/2.
    (Az Euler-egészek gyűrűje.)
04. Igaz-e, hogy ha egy gyűrűben s és t bal oldali egységelem, akkor st is bal oldali egységelem?
05. Legyen L={a+bi√5|a,b∈ℤ}. Az L halmaz elemeit nevezzük L egészeknek. Bizonyítsa be, hogy az L egészek körében a 2 felbonthatatlan elem, de nem prím. Támaszkodjon arra, hogy 1+i√5, 1-i√5 és 3 felbonthatatlan.
06. Jelölje M a valós számtest feletti 2*2-es mátrixok halmazát, L pedig az
    ( a b)  (a,b egészek) alakú mátrixok halmazát. Tudjuk, hogy M gyűrű.
    (2b a)
    a) Részgyűrűje-e (L;+,*) az (M;+,*) gyűrűnek?
    b) Ideálja-e L az M-nek?
