% ================================================== %
% | Eötvös Loránd Tudományegyetem                  | %
% | Informatikai Kar                               | %
% |  Programtervező matematikus                    | %
% |  Nappali tagozat                               | %
% -------------------------------------------------- %
% | Bevezetés a matematikába                       | %
% | [I] első év                                    | %
% | [II] második szemeszter (tavaszi)              | %
% | 2004/2005 tanév                                | %
% -------------------------------------------------- %
%  VERSION:  1.0                                     %
%  AUTHOR:   Reviczky Ádám János                     %
% ================================================== %

[ZÁRTHELYI]
# Elmélet
# Gyakorlat

Elmélet
- - - - - - - - - -
 1. a) Mit nevezünk integritási tartománynak?
    b) Mi a nullosztó?
    c) Mi az ideál?

Gyakorlat
- - - - - - - - - -
 2. Legyen G csoport, és |G|=2005. Tegyük fel, hogy a²=b². Bizonyítsa be, hogy ekkor a=b.
 3. Igazoljuk, hogy az alábbi halmaz a szokásos műveletekre integritási tartományt alkot.
    {a+bρ:a,b∈ℤ}, ahol ρ az első hatodik egységgyökök: ρ=cos60°+isin60°=1/2+i√3/2.
    (Az Euler-egészek gyűrűje.)
 4. Igaz-e, hogy ha egy gyűrűben s és t bal oldali egységelem, akkor st is bal oldali egységelem?
 5. Legyen L={a+bi√5|a,b∈ℤ}. Az L halmaz elemeit nevezzük L egészeknek. Bizonyítsa be, hogy az L egészek körében a 2 felbonthatatlan elem, de nem prím. Támaszkodjon arra, hogy 1+i√5, 1-i√5 és 3 felbonthatatlan.
 6. Jelölje M a valós számtest feletti 2*2-es mátrixok halmazát, L pedig az
    ( a b)  (a,b egészek) alakú mátrixok halmazát. Tudjuk, hogy M gyűrű.
    (2b a)
    a) Részgyűrűje-e (L;+,*) az (M;+,*) gyűrűnek?
    b) Ideálja-e L az M-nek?
