-----------------------------
|Bevezetés a matematikába I.|
|2003/2004 őszi szemeszter  |
-----------------------------

[VIZSGATEMATIKA]

# A matematikai logika alapjai
# Halmazok, relációk, függvények
# - Halmazműveletek
# - Függvények típusai
# - Speciális függvények
# - Függvények kompozíciója, inverze
# Struktúrák
# - Algebrai struktúrák
# - Kétműveletes struktúrák
# - Rendezési struktúrák
# - Vegyes struktúrák
# - Származtatott struktúrák
# - Polinomok
# A számfogalom felépítése
# - Természetes számok
# - Műveletek
# - Egészek
# - Racionális számok
# - Valós számok
# - Komplex számok
# - - Szemléltetésük
# - Algebrai, transzcendens számok
# Kombinatorika
# - Speciális számok
# Elemi számelmélet
# - Általános alapfogalmak
# - Oszthatóság az egészek körében
# - Műveletek kongruenciákkal
# - Lineáris kongruenciák
# - Szimultán kongruenciák
# - Számelméleti függvények
# Jelölés


A matematikai logika alapjai
- - - - - - - - - -
       - a kijelentéskalkulus
       - kijelentések és igazságértékük
       - kijelentések összekapcsolása
  [T]  - a kijelentékalkulus tételei
       - a predikátumkalkulus
  [T]  - a pedikátumkalkulus tételei
       - axiómák és a bizonyítások formái


Halmazok, relációk, függvények
- - - - - - - - - -
  [D]  - halmaz és elemei
  [D]  - halmazok egyenlősége
  [D]  - üres halmaz
  [D]  - részhalmaz
  [D]  - hatványhalmaz

 Halmazműveletek
  [D]  - különbség, metszet, unió
  [T]  - az unió és a metszet tulajdonságai, De Morgan szabályok
  [D]  - osztályfelbontás
  [D]  - rendezett pár
  [D]  - Descartes-féle direkt szorzat
  [D]  - n-változós reláció, binér reláció, homogén reláció
  [D]  - binér és homogén binér relációk tulajdonságai
  [D]  - reláció kiterjesztése, leszűkítése
  [D]  - ekvivalenciareláció
  [D]  - ekvivalenciaosztály
  [D]  - hányadoshalmaz, reprezentáns, teljes reprezentáns-rendszer
  [TB] - ekvivalenciareláció és ostályfelbontás kapcsolata
  [D]  - relációk kompozíciója
  [TB] - relációszorzat asszociatív
  [D]  - reláció inverze
  [D]  - függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet, függvény képe, inverze

 Függvények típusai
  [D]  - szürjektív, injektív, bijektív függvény

 Speciális függvények
  [D]  - konstans függvény, leszűkítés, kiterjesztés

 Függvények kompozíciója, inverze
  [T]  - függvény inverze mikor függvény
  [T]  - függvények műveletei halmazokkal
  [D]  - n-változós függvény


Struktúrák
- - - - - - - - - -
 Algebrai struktúrák
  [D]  - belső összekapcsolás, több elem összekapcsolása
  [D]  - struktúra asszociatív
  [D]  - félcsoport
  [D]  - semleges elem
  [D]  - monoid
  [D]  - inverz elem
  [D]  - csoport
  [D]  - Abel-csoport

 Kétműveletes struktúrák
  [D]  - disztributivitás
  [D]  - gyűrű, nullelem, egységelem
  [D]  - kommutatív gyűrű
  [D]  - nullosztómentes gyűrű
  [D]  - integritási tartomány
  [D]  - test
  [D]  - külső összekapcsolás
  [D]  - Ω-modulus
  [D]  - vektortér

 Rendezési struktúrák
  [D]  - részbenrendezés
  [D]  - szigurú részbenrendezés
  [D]  - diagonális reláció
  [TB] - részbenrendezés és szigorú részbenrendezés kapcsolata
  [D]  - részbenrendezett struktúra, rendezési diagram
  [D]  - monoton, szigorúan monoton függvények
  [D]  - indukált részbenrendezés
  [D]  - minimális elem, legkisebb elem
  [D]  - maximális elem, legnagyobb elem
  [D]  - alsó korlát, felső korlát
  [D]  - alsó határ, felső határ
  [D]  - zárt, nyílt intervallum
  [D]  - teljes rendezés
  [D]  - lánc
  [D]  - jólrendezés
  [T]  - jólrendezési tétel
  [D]  - induktív halmaz
  [T]  - Zorn-lemma, transzfinit indukció

 Vegyes struktúrák
  [D]  - rendezett integritási tartomány
  [D]  - rendezett test

 Származtatott struktúrák
       - alstruktúra, szorzatstruktúra, faktorstruktúra
       - lexikografikus rendezés

 Polinomok
  [D]  - egységelemes gyűrű feletti egyhatározatlanú polinom
  [D]  - polinom gyöke, zérushelye, foka


A számfogalom felépítése
- - - - - - - - - -
 Természetes számok
  [D]  - Peano-axiómák
  [D]  - rákövetkezési reláció
  [T]  - rekurziótétel

 Műveletek
  [D]  - összeadás
  [TB] - az összeadás asszociativitása, kommutativitása
  [D]  - a természetes számok rendezése
  [TB] - monotonia tétele, egyszerűsítési szabály
  [D]  - szorzás
  [T]  - a szorzás szabályai
  [T]  - disztributivitás
  [D]  - sorozat
  [D]  - összeg, tag, szorzat, tényező

 Egészek
  [D]  - izomorfikus beágyazás
  [D]  - egész számok konstrukciója
  [D]  - műveletek egész számokkal
  [TB] - az egészek integritási tartományt alkotnak
  [D]  - egészek rendezése
  [D]  - abszolútérték
  [TB] - számolási szabályok
  [T]  - az egészek rendezett integritási tartományt alkotnak

 Racionális számok
  [D]  - Konstrukció
  [D]  - műveletek racionális számokkal
  [TB] - a racionális számok testet alkotnak
  [D]  - a racionális számok rendezése
  [D]  - arkhimédeszi tulajdonság
  [T]  - a racionális számok arkhimédeszi tulajdonságú rendezett testet alkotnak

 Valós számok
       - Konstrukció nyílt kezdettel
  [D]  - felső határ tulajdonságú rendezett test
  [D]  - nyílt kezdet
  [D]  - irracionális számok
  [D]  - valós számok rendezése
  [T]  - a valós számok minden felülről korlátos részhalmazának van felső határa
  [D]  - műveletek valós számokkal
       - Konstrukció intervallumskatulyázással
       - valós számok előállítása
       - alsó-felső egészrész, törtrész, tizedes tört
  [D]  - hatványozás, gyökvonás

 Komplex számok
  [D]  - konstrukció
  [D]  - műveletek

  Szemléltetésük
  [D]  - abszolútérték
  [D]  - konjugált
  [D]  - valós, képzetes rész
  [T]  - műveletek komplex számokkal
  [D]  - argumentum
  [TB] - Moivre-azonosság
  [D]  - komplex szám n-edik gyöke
  [D]  - n-edik egységgyökök
  [D]  - primitív n-edik egységgyökök
  [TB] - egységgyökök előállítása
  [TB] - n-edik egységgyökök összege
  [T]  - algebra alaptétele
       - a komplex számok rendezési tulajdonsága

 Algebrai, transzcendens számok
  [D]  - algebrai szám
  [D]  - transzcendens szám
  [D]  - kvaterniók


Kombinatorika
- - - - - - - - - -
  [D]  - permutáció
  [TB] - véges halmaz ismétlés nélküli permutációi száma
       - Stirling-formula, ciklikus permutálás
  [D]  - variáció
  [TB] - n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációi száma
  [D]  - kombináció
  [TB] - n elemű halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációi száma
  [D]  - ismétléses variáció
  [TB] - n elem k-ad osztályú ismétléses variációi száma
  [D]  - ismétléses kombináció
  [TB] - az ismétléses kombinációk száma
  [D]  - ismétléses permutáció
  [TB] - az ismétléses permutációk száma
  [TB] - binomiális tétel és következményei
  [TB] - polinomiális tétel
  [T]  - skatulya-elv
  [TB] - logikai szita formula

 Speciális számok
  [D]  - a Fibonacci-számok
  [TB] - a Fibonacci-sorozat n-edik tagja, aranymetszés
  [D]  - szubfaktoriális
  [TB] - a szubfaktoriális sorozat n-edik tagja
  [D]  - a Pascal-háromszög
  [TB] - a binomiális együtthatók néhány tulajdonsága


Elemi számelmélet
- - - - - - - - - -
 Általános alapfogalmak
  [D]  - osztó
  [TB] - az oszthatóság tulajdonságai
  [D]  - egység
  [TB] - egy szám és egységszerese oszthatósági tulajdonságai
  [D]  - asszociáltság
  [D]  - triviális osztók
  [D]  - felbonthatatlan szám
  [D]  - összetett szám
  [D]  - prímszám
  [TB] - minden prím felbonthatatlan
  [D]  - legnagyobb közös osztó
  [D]  - relatív prímek
  [D]  - páronként relatív prímek
  [D]  - legkisebb közös többszörös

 Oszthatóság az egészek körében
  [TB] - az egészek körében két egység van
  [TB] - maradékos osztás
  [TB] - számrendszerek
  [TB] - legnagyobb közös osztó létezése
  [TB] - c>0, akkor (ca,cb)=c(a,b)
  [TB] - a legnagyobb közös osztó kifejezése a számok lineáris kombinációiként
  [TB] - lineáris diofantikus egyenletek megoldhatósága
  [TB] - c|(a,b) és (c,a)=1, akkor c|b
  [TB] - egész szám pontosan akkor prím, ha felbonthatatlan
  [TB] - számelmélet alaptétele
  [TB] - a kanonikus alak formulája
  [D]  - módosított kanonikus alak
  [TB] - kanonikus alakban adott szám pozitív osztói, pozitív osztói száma
  [TB] - legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös kifejezése a kanonikus alakok segítségével
  [TB] - a számelmélet alaptétele és a kanonikus alak következményei
  [TB] - a prímek száma végtelen
  [TB] - létezik tetszőleges hosszú csupa összetett számot tartalmazó intervallum
  [T]  - prímszámtétel
  [TB] - erathoszteneszi szita
  [T]  - Dirichlet-tétel
       - Goldbach-sejtés
       - Fermat és Mersenne-prímek
  [D]  - kongruencia
  [T]  - a kongruencia tulajdonságai
  [TB] - kongruencia egyszerűsítése és ennek következménye
  [D]  - maradékosztály
  [D]  - teljes maradékrendszer
  [TB] - a≡b (m) ⇒ (a,m)=(b,m)
  [D]  - redukált maradékosztály, redukált maradékrendszer
  [D]  - Euler-féle φ függvény
  [T]  - teljes és redukált maradékrendszer tulajdonságai
  [TB] - teljes és redukált maradékrendszer lineáris transzformációi
  [TB] - Euler-Fermat-tétel és következményei

 Műveletek kongruenciákkal
  [TB] - a modulo m maradékosztályok egységelemes kommutatív gyűrűt alkotnak
  [D]  - multiplikatív inverz
  [TB] - redukált maradékosztályok és multiplikatív inverz kapcsolata
  [T]  - modulo m maradékosztály pontosan akkor test, ha m prím

 Lineáris kongruenciák
  [D]  - lineáris kongruencia megoldásszáma
  [TB] - az ax≡b (m) lineáris kongruencia megoldhatósága és megoldásszáma
  [TB] - az ax≡b (m) (a,m)=1 konguencia megoldása

 Szimultán kongruenciák
  [TB] - kínai maradéktétel és következményei

 Számelméleti függvények
  [D]  - additív, teljesen additív, multiplikatív és teljesen multiplikatív számelméleti függvények
  [D]  - Möbius-függvény
  [TB] - Euler-féle φ-függvény multiplikatív


Jelölés
- - - - - - - - - -
  [D]  : definíció
  [T]  : tétel
  [TB] : tétel bizonyítással
