% -------------------------------------------------- %
%  EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM                     %
%  INFORMATIKAI KAR ~ PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS     %
%  Bevezetés a matematikába (2)                      %
%  2004/2005                                         %
% .................................................. %
%  Authors: Reviczky Ádám János                      %
% -------------------------------------------------- %

VIZSGAKÉRDÉSEK 22-23-24 (MEGOLDÁSSAL)

# DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
01. Adja meg egy teljes gráf éleinek számát.
    Ha egy egyszerű gráfban bármely két különböző csúcsot él köt össze, akkor a gráfot teljes gráfnak nevezzük.
    Az n szögpontú teljes gráfnak n(n-1)/2 éle van.
02. Igaz-e, hogy egy gráf miden éle hozzátartozik valamely komponenshez?
    Egy gráfot összefüggőnek nevezünk, ha bármely két csúcsa összeköthető sétával.
    Nyilván egy adott gráf csúcsaira az a reláció, hogy két csúcs összeköthető úttal, ekvivalenciareláció a csúcsok halmazán, így meghatároz egy osztályozást. A csúcsok egy adott osztálya által meghatározott telített részgráf a gráf egy komponense.
    Vegyük észre, hogy két különböző osztályba tartozó csúcs nem lehet szomszédos, így a gráf minden éle hozzátartozik egy komponenshez.
03. Mi az Euler-séta?
    Egy véges gráfban azt a zárt vonalat, amelyben minden él szerepel, illetve adott v, v' csúcsokhoz a v-ből v'-be vezető olyan vonal, amelyben minden él szerepel, Euler-vonalnak nevezzük.
04. Mennyi egy irányított gráf fokszámainak összege?
    Egy v∈V csúcs kifokát rendszerint deg+(v)-vel vagy d+(v)-vel, befokát rendszerint deg-(v)-vel vagy d-(v)-vel jelöljük.
    Ha G=(ψ,E,V) egy véges irányított gráf, akkor nyilván ∑v∈V d+(v) = ∑v∈V d-(v) = ♮(E), hiszen minden újabb él mindkét összeget eggyel növeli.
05. Mi az irányított fa, definiálja a gyökér fogalmat.
    Egy irányított gráfot irányított fának nevezünk, ha fa, és van olyan csúcsa, amelyből minden csúcshoz vezet irányított út.
    Ez a csúcs nyilván egyértelműen meghatározott, ez az irányított fa gyökere.
06. Mit mondhatunk homomorfizmusnál egy csoport, kommutatív félcsoport és Abel-csoportról?
    Csoport homomorf képe is csoport. Kommutatív félcsoport homomorf képe is kommutatív félcsoport. Abel-csoport homomorf képe is Abel-csoport.
07. Mit mondhatunk egy ciklikus csoport homomorf képéről?
    Ha g∈G, akkor 〈g〉={gⁿ:n∈ℤ}. Egy ciklikus csoport homomorf képe is ciklikus, egy generátor képe generálja a homomorf képét.
08. Adjon meg szükséges és elégséges feltételt, hogy egy részcsoport normálosztó legyen.
    Ha N részcsoportja G-nek, és minden a∈G-re aN=Na, akkor N-et normálosztónak vagy normális részcsoportnak vagy invariáns részcsoportnak nevezzük. Jelölése: N⊲G.
    Az, hogy N normálosztó, nyilván azzal ekvivalens, hogy a jobb és bal oldali mellékosztályok megegyeznek, és a művelet kompatibilis az osztályozással.
09. Egy n-ed fokú szimmetrikus csoportnál miért elég az {1,2,…,n} permutációra hivatkozni?
    Tetszőleges A halmaz összes permutációinak a ∘ művelettel vett csoportját az A szimmetrikus csoportjának nevezzük, míg ezek részcsoportjai a permutációcsoportok.
    Ha φ az A halmaznak a B halmazra való kölcsönösen egyértelmű leképezése, akkor tudjuk, hogy f↦φ∘f∘φ-1 megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű leképezése (bijekciója) A összes permutációinak B összes permutációira. Mivel a permutációk összetételére ez a megfeleltetés művelettartó is, hiszen (φ∘f∘φ-1)∘(φ∘g∘φ-1)=φ∘f∘g∘φ-1, így A és B permutációinak csoportjai izomorfak.
    Mivel minket elsősorban a véges csoportok érdekelnek, az {1,2,…,n}, n∈ℕ alakú halmazok permutációinak vizsgálatára szorítkozhatunk. Az {1,2,…,n} halmaz összes permutációinak csoportját Sn-nel fogjuk jelölni, és n-ed fokú szimmetrikus csoportnak nevezzük.
10. Definiálja az endomorfizmusgyűrűt.
    Egy tetszőleges A Abel-csoport endomorfizmusai gyűrűt alkotnak a pontonkénti összeadással és a függvények kompozíciójával, mint szorzással. Ezt a gyűrűt A endomorfizmusgyűrűjének nevezzük.
11. Definiálja a gyűrűben a mellékosztályokat.
    Legyen R egy gyűrű és legyen I egy additív részcsoportja R-nek. Vezessük be az a~b, ha a-b∈I relációt. Tudjuk, hogy ez az összeadással kompatibilis ekvivalenciareláció, az a∈R ekvivalenciaosztálya az I+a halmaz.
    Az ekvivalenciaosztályokat az R gyűrű I szerinti mellékosztályainak vagy maradékosztályainak nevezzük.
12. Adja meg egy integritási tartomány a hányadostestbe való beágyazását.
    Legyen R integritási tartomány. Az R×R\{0} halmazon vezessük be az (a,b)~(a',b'), ha ab'=a'b ekvivalenciarelációt, az (a,b)+(a'+b')=(ab'+a'b,bb') összeadást és az (a,b)(a',b')=(aa',bb') szorzást.
    Belátható, hogy a műveletek kompatibilisek az ekvivalenciarelációval, és az ekvivalenciaosztályok testet alkotnak, amelyet az R hányadostestének nevezünk.
    Az R gyűrű beágyazható a hányadostestébe: bármely rögzített a≠0-ra x∈R-hez az (ax,a) osztályát rendelve, ugyanazt a monomorfizmust kapjuk.
13. Mely polinomok alkotnak euklideszi gyűrűt?
    Ha R test, akkor a 0≠f↦degf leképezéssel R[x] euklideszi gyűrű. Tehát test feletti egyhatározatlanú polinomok euklideszi gyűrűt alkotnak.
14. A ℤ[x] euklideszi gyűrű?
    A ℤ[x] gyűrű nem tehető euklideszi gyűrűvé. Ha ugyanis euklideszi gyűrűvé tudnánk tenni, akkor a 2 és x polinomok legnagyobb közös osztója, amely létezik és 1, előállítható lenne 1=2u+xv alakban valamely u,v∈ℤ[x] polinomokkal, ami nem lehetséges, mert a jobb oldal konstans tagja páros.
15. Definiálja a többhatározatlanú monom fogalmát.
    Könnyen látható, hogy az n-határozatlanú polinomok ∑i1,i2,…,in fi1,i2,…,inx1i1x2i2⋯xnin alakú véges összegek, ahol x1,x2,…,xn a "határozatlanok" és fi1,i2,…,in∈R, az összeadás és szorzás pedig tagonként történik.
    Azokat a polinomokat, amelyek fixi alakba írhatók, monomoknak nevezzük.
