% -------------------------------------------------- %
%  EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM                     %
%  INFORMATIKAI KAR ~ PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS     %
%  Bevezetés a matematikába (2)                      %
%  2004/2005                                         %
% .................................................. %
%  Authors: Reviczky Ádám János                      %
% -------------------------------------------------- %

VIZSGAKÉRDÉSEK (MEGOLDÁSSAL)

# DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
01. Definiálja az egyszerű gráf és a véges gráf fogalmát.
    egyszerű gráf: Ha egy gráf nem tartalmaz sem hurokélt, sem párhuzamos éleket, akkor egyszerű gráfnak nevezzük.
    véges gráf: Ha G=(φ,E,V) egy gráf, E és V véges halmazok, akkor a gráfot végesnek, egyébként végtelennek nevezzük.
02. Definiálja az élhalmaz illetve csúcshalmaz törlésével kapott gráfot.
    élhalmaz törlésével kapott gráf: Ha G=(φ,E,V) egy gráf és E'⊂E, akkor a G-ből az E' élhalmaz törlésével kapott gráfon a G'=(φ|E\E',E\E',V) részgráfot értjük.
    csúcshalmaz törlésével kapott gráf: Ha G=(φ,E,V) egy gráf és V'⊂V, akkor legyen E' az összes olyan élek halmaza, amelyek illeszkednek valamely V'-beli csúcsra. A G-ből a V' csúcshalmaz törlésével kapott gráfon a G'=(φ|E\E',E\E',V\V') részgráfot értjük.
03. Egy egyszerű véges gráfnak n csúcsa van. Fogalmazzon meg két olyan szükséges és elégséges feltételt amelyben szerepel az élek száma, arra, hogy a gráf fa.
    1) G-ben nincs kör és n-1 éle van.
    2) G összefüggő és n-1 éle van.
04. Mit értünk mohó algoritmuson? Mondjon példát, amikor egy mohó algoritmus nem ad optimális megoldást.
    Kruskal algoritmusa példa úgynevezett mohó algoritmusra: minden lépésben a lehetséges lehetőségek közül az adott lépésben lehető legkedvezőbbet választjuk.
    A mohó algoritmusok nem mindig optimálisak, például könnyű példát adni olyan 4 csúcspontú teljes gráfra, amelyben a mohó algoritmus nem adja meg a minimális súlyú Hamilton-kört:
     v1   2   v4
      o-------o
      | \99 / |
    0 |   X   | 99
      | /1  \ |
      o-------o
     v2   2   v3
05. Definiálja az élhalmaz illetve csúcshalmaz törlésével kapott irányított gráfot.
    élhalmaz törlésével kapott irányított gráf: Ha G=(ψ,E,V) egy irányított gráf és E'⊂E, akkor a G-ből az E' élhalmaz törlésével kapott irányított gráfon a G'=(ψ|E\E',E\E',V) irányított részgráfot értjük.
    csúcshalmaz törlésével kapott irányított gráf: Ha G=(ψ,E,V) egy irányított gráf és V'⊂V, akkor legyen E' az összes olyan élek halmaza, amelyeknek kezdőpontja vagy végpontja valamely V'-beli csúcs. A G-ből a V' csúcshalmaz törlésével kapott irányított gráfon a G'=(ψ|E\E',E\E',V\V') részgráfot értjük.
06. Fogalmazza meg Kuratowski tételét síkba rajzolásról.
    Egy egyszerű véges gráf akkor és csak akkor síkba rajzolható, ha nincs olyan részgráfja, amely topologikusan izomorf az öt szögpontú teljes gráffal vagy a „három ház, három kút” gráffal.
07. Definiálja a részcsoport, triviális részcsoport és valódi részcsoport fogalmát.
    részcsoport: Egy G csoport egy H részhalmazát részcsoportnak nevezzük, ha maga is csoport a G-beli műveletet csak H elemei között tekintve. (Jelölés: H≤G)
    triviális részcsoport: Nyilván az egész G és a csak az egységelemet tartalmazó egyelemű részhalmaz részcsoportok, ezek a triviális részcsoportok.
    valódi részcsoport: A G-től különböző részcsoportokat valódi részcsoportnak nevezzük.
08. Fogalmazzon meg olyan tételt, amely lehetővé teszi, hogy egy csoport rendjéből a ciklikusságára következtessünk.
    Lagrange tétele: Ha H a G véges csoport részcsoportja, akkor a H rendjének és indexének a szorzata G rendje.
    Következmény: Prímszámrendű csoport ciklikus.
09. Fogalmazza meg a Cayley tételét.
    Bármely G csoport izomorf valamely halmaz permutációinak (a ∘ kompozícióval tekintett csoportja) egy részcsoportjával. A halmaz választható G-nek.
10. Definiálja gyűrű karakterisztikáját. Milyen állítást használt?
    Úgy a gyűrűknél, mint a testeknél is fontos jellemző az elemek additív rendje, amely bizonyos feltételek teljesülése esetén minden nem nulla elemnél megegyezik.
    Tétel: Egy nullosztómentes R gyűrűben a nemnulla elemek additív rendje megegyezik, ami vagy végtelen, vagy prímszám.
11. Fogalmazza meg egy kommutatív egységelemes gyűrűben a főideálokat leíró állítást.
    Egy R kommutatív egységelemes gyűrűben az a∈R elem által generált főideálra (a)=aR.
    Speciálisan a nulla által generált főideál {0}, az egységelem által generált főideál pedig R.
12. Fogalmazza meg euklideszi gyűrűben a faktorizációra vonatkozó tételt.
    Euklideszi gyűrűben minden nem nulla és nem egység elem sorrendtől és asszociáltságtól eltekintve egyértelműen felírható prímelemek szorzataként.
13. Fogalmazza meg a maradékos osztás tételét polinomokra.
    Legyen R egységelemes integritási tartomány, f,g∈R[x], g≠0, és tegyük fel, hogy g főegyütthatója egység R-ben. Ekkor egyértelműen léteznek olyan q,r∈R[x] polinomok, amelyekre f=gq+r, ahol deg r < deg g.
14. Írja le az egységeket test feletti polinomok körében.
    Egy előző tételünk szerint test feletti egyhatározatlanú polinomok euklideszi gyűrűt alkotnak, így bennük a prímelem és az irreducibilis elem fogalma egybeesik, és minden nem nulla polinom irreducibilis polinomok szorzatára bomlik, lényegében egyértelműen.
    Az egységek a nem nulla konstans polinomok. Bármely test felett az elsőfokú polinomok irreducibilisek.
15. Hogyan azonosíthatjuk a gyűrű elemeit bizonyos többhatározatlanú polinomokkal? Hogy hívjuk ezeket a polinomokat?
    Legyen R gyűrű, n∈ℕ. Az R feletti n-határozatlanú polinomok gyűrűjét n szerinti indukcióval definiáljuk.
    Az a∈R elemhez hozzárendelve azt az f polinomot, amelyre f0,0,…,0=a és fi1,i2,…,in=0 egyébként, az R egy olyan leképezését kapjuk a polinomok gyűrűjébe, amely nyilván monomorfizmus, értékkészletének elemei a konstans polinomok, ezeket R elemeivel azonosíthatjuk.
