------------------------------
|Bevezetés a matematikába II.|
|2004/2005 tavaszi szemeszter|
------------------------------

[VIZSGAKÉRDÉSEK (MEGOLDÁSSAL)]

# Definíciók, tételek


Definíciók, tételek
- - - - - - - - - -
 1. Definiálja az egyszerű gráf és a véges gráf fogalmát.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       egyszerű gráf: Ha egy gráf nem tartalmaz sem hurokélt, sem párhuzamos éleket, akkor egyszerű gráfnak nevezzük.
       véges gráf: Ha G=(φ,E,V) egy gráf, E és V véges halmazok, akkor a gráfot végesnek, egyébként végtelennek nevezzük.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

 2. Definiálja az élhalmaz illetve csúcshalmaz törlésével kapott gráfot.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       élhalmaz törlésével kapott gráf: Ha G=(φ,E,V) egy gráf és E'⊂E, akkor a G-ből az E' élhalmaz törlésével kapott gráfon a G'=(φ|E\E',E\E',V) részgráfot értjük.
       csúcshalmaz törlésével kapott gráf: Ha G=(φ,E,V) egy gráf és V'⊂V, akkor legyen E' az összes olyan élek halmaza, amelyek illeszkednek valamely V'-beli csúcsra. A G-ből a V' csúcshalmaz törlésével kapott gráfon a G'=(φ|E\E',E\E',V\V') részgráfot értjük.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

 3. Egy egyszerű véges gráfnak n csúcsa van. Fogalmazzon meg két olyan szükséges és elégséges feltételt amelyben szerepel az élek száma, arra, hogy a gráf fa.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       1) G-ben nincs kör és n-1 éle van.
       2) G összefüggő és n-1 éle van.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

 4. Mit értünk mohó algoritmuson? Mondjon példát, amikor egy mohó algoritmus nem ad optimális megoldást.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       Kruskal algoritmusa példa úgynevezett mohó algoritmusra: minden lépésben a lehetséges lehetőségek közül az adott lépésben lehető legkedvezőbbet választjuk.
       A mohó algoritmusok nem mindig optimálisak, például könnyű példát adni olyan 4 csúcspontú teljes gráfra, amelyben a mohó algoritmus nem adja meg a minimális súlyú Hamilton-kört:
        v1   2   v4
         o-------o
         | \99 / |
       0 |   X   | 99
         | /1  \ |
         o-------o
        v2   2   v3
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

 5. Definiálja az élhalmaz illetve csúcshalmaz törlésével kapott irányított gráfot.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       élhalmaz törlésével kapott irányított gráf: Ha G=(ψ,E,V) egy irányított gráf és E'⊂E, akkor a G-ből az E' élhalmaz törlésével kapott irányított gráfon a G'=(ψ|E\E',E\E',V) irányított részgráfot értjük.
       csúcshalmaz törlésével kapott irányított gráf: Ha G=(ψ,E,V) egy irányított gráf és V'⊂V, akkor legyen E' az összes olyan élek halmaza, amelyeknek kezdőpontja vagy végpontja valamely V'-beli csúcs. A G-ből a V' csúcshalmaz törlésével kapott irányított gráfon a G'=(ψ|E\E',E\E',V\V') részgráfot értjük.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

 6. Fogalmazza meg Kuratowski tételét síkba rajzolásról.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       Egy egyszerű véges gráf akkor és csak akkor síkba rajzolható, ha nincs olyan részgráfja, amely topologikusan izomorf az öt szögpontú teljes gráffal vagy a „három ház, három kút” gráffal.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

 7. Definiálja a részcsoport, triviális részcsoport és valódi részcsoport fogalmát.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       részcsoport: Egy G csoport egy H részhalmazát részcsoportnak nevezzük, ha maga is csoport a G-beli műveletet csak H elemei között tekintve. (Jelölés: H≤G)
       triviális részcsoport: Nyilván az egész G és a csak az egységelemet tartalmazó egyelemű részhalmaz részcsoportok, ezek a triviális részcsoportok.
       valódi részcsoport: A G-től különböző részcsoportokat valódi részcsoportnak nevezzük.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

 8. Fogalmazzon meg olyan tételt, amely lehetővé teszi, hogy egy csoport rendjéből a ciklikusságára következtessünk.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       Lagrange tétele: Ha H a G véges csoport részcsoportja, akkor a H rendjének és indexének a szorzata G rendje.
       Következmény: Prímszámrendű csoport ciklikus.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

 9. Fogalmazza meg a Cayley tételét.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       Bármely G csoport izomorf valamely halmaz permutációinak (a ∘ kompozícióval tekintett csoportja) egy részcsoportjával. A halmaz választható G-nek.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

10. Definiálja gyűrű karakterisztikáját. Milyen állítást használt?
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       Úgy a gyűrűknél, mint a testeknél is fontos jellemző az elemek additív rendje, amely bizonyos feltételek teljesülése esetén minden nem nulla elemnél megegyezik.
       Tétel: Egy nullosztómentes R gyűrűben a nemnulla elemek additív rendje megegyezik, ami vagy végtelen, vagy prímszám.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

11. Fogalmazza meg egy kommutatív egységelemes gyűrűben a főideálokat leíró állítást.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       Egy R kommutatív egységelemes gyűrűben az a∈R elem által generált főideálra (a)=aR.
       Speciálisan a nulla által generált főideál {0}, az egységelem által generált főideál pedig R.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

12. Fogalmazza meg euklideszi gyűrűben a faktorizációra vonatkozó tételt.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       Euklideszi gyűrűben minden nem nulla és nem egység elem sorrendtől és asszociáltságtól eltekintve egyértelműen felírható prímelemek szorzataként.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

13. Fogalmazza meg a maradékos osztás tételét polinomokra.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       Legyen R egységelemes integritási tartomány, f,g∈R[x], g≠0, és tegyük fel, hogy g főegyütthatója egység R-ben. Ekkor egyértelműen léteznek olyan q,r∈R[x] polinomok, amelyekre f=gq+r, ahol deg r < deg g.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

14. Írja le az egységeket test feletti polinomok körében.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       Egy előző tételünk szerint test feletti egyhatározatlanú polinomok euklideszi gyűrűt alkotnak, így bennük a prímelem és az irreducibilis elem fogalma egybeesik, és minden nem nulla polinom irreducibilis polinomok szorzatára bomlik, lényegében egyértelműen.
       Az egységek a nem nulla konstans polinomok. Bármely test felett az elsőfokú polinomok irreducibilisek.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

15. Hogyan azonosíthatjuk a gyűrű elemeit bizonyos többhatározatlanú polinomokkal? Hogy hívjuk ezeket a polinomokat?
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
    megoldás:
       Legyen R gyűrű, n∈ℕ. Az R feletti n-határozatlanú polinomok gyűrűjét n szerinti indukcióval definiáljuk.
       Az a∈R elemhez hozzárendelve azt az f polinomot, amelyre f0,0,…,0=a és fi1,i2,…,in=0 egyébként, az R egy olyan leképezését kapjuk a polinomok gyűrűjébe, amely nyilván monomorfizmus, értékkészletének elemei a konstans polinomok, ezeket R elemeivel azonosíthatjuk.
    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
