------------------------------
|Analízis II.                |
|2004/2005 tavaszi szemeszter|
------------------------------

[VIZSGATEMATIKA]

# Vizsgatételek


Vizsgatételek
- - - - - - - - - -
 1. Hatványsorok, analitikus, illetve egész függvények. Speciális esetek: az exponenciális, a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények bevezetése és ezek alaptulajdonságai.
 2. Hatványsor középpontjának az eltolása.
 3. A torlódási pont fogalma, ekvivalens definíciók. A végtelen, illetve a véges halmazok esete. A korlátosság vizsgálata. A torlódási pontok jellemzése sorozatok segítségével.
 4. Függvények határértéke, átviteli elv. Példák, speciális esetek. Egyoldali határérték.
 5. Műveletek és határérték. Hatványsor összegfüggvényének a határértéke.
 6. Folytonosság, szakadás. Egyoldali folytonosság. Monoton függvény határértéke és szakadási helyei.
 7. A folytonosságra vonatkozó átviteli elv. Műveletek folytonos függvényekkel (alapműveletek, kompozíció).
 8. A kompaktság fogalma (sorozatok). A korlátosság és a zártság szerepe.
 9. Kompakt halmazon folytonos függvény értékkészlete kompakt. A Weierstrass-tétel.
10. Az egyenletes folytonosság fogalma. A Heine-tétel, példák, Lipschitz-feltétel.
11. Darboux-tulajdonság, Bolzano-tétel. Az intervallumfelezéses módszer. Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum.
12. Az inverz függvény folytonossága (kompakt értelmezési tartomány).
13. Intervallumon értelmezett folytonos és invertálható függvény inverze folytonos.
14. Az exp:ℝ→ℝ függvény tulajdonságai. A logaritmus és a hatvány értelmezése.
15. A differenciálhatóság fogalma (a függvény megváltozásának a vizsgálata), a derivált értelmezése. Ekvivalens átfogalmazás (a különbségi hányados határértéke). Egyoldali derivált. A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata.
16. Differenciálható függvények összege, szorzata, hányadosa.
17. Differenciálható függvények kompozíciója.
18. Hatványsor összegfüggvényének a deriváltja. Többször differenciálható függvények. A Taylor-sor fogalma.
19. Az inverz függvény deriváltja. Az exponenciális függvények, a logaritmusfüggvények és a hatványfüggvények deriválása.
20. A lokális monotonitás és szélsőérték fogalma. Szükséges, elégséges feltételek differenciálható függvény esetén.
21. A Rolle-féle, Cauchy-féle, Lagrange-féle középérték-tételek.
22. Taylor-formulák (Schlömilch-féle, Lagrange-féle, Cauchy-féle, Peano-féle maradéktag).
23. Differenciálható függvények monotonitása. A derivált függvény Darboux-tulajdonságú.
24. A L'Hospital-szabály.
25. Konvex, konkáv függvények. A differenciahányados függvény monotonitása (szükséges és elégséges feltétel).
26. A konvexitás (konkávitás) jellemzése differenciálható függvény esetén: a deriváltfüggvény monotonitása; a függvény és az érintők viszonya.
27. A binomiális sor.
28. A lokális konvexitás (konkávitás) fogalma, jellemzése differenciálható esetben (a derivált lokális monotonitása; a második derivált előjele).
29. Inflexió. Szükséges, elégséges feltételek (a derivált szélsőértéke; magasabb rendű deriváltak). Aszimptota.
